Calcolo della Pressione Idraulica: Formula e Applicazioni
La pressione è una grandezza fisica che indica la forza esercitata per unità di superficie. In particolare, la pressione esercitata da una colonna d'acqua è detta pressione idrostatica. Vediamo nel dettaglio come calcolarla e quali fattori influenzano il suo valore.
Pressione Idrostatica: Definizione e Concetti Chiave
La pressione indica la forza esercitata per unità di superficie ed è definita dalla seguente formula:
\[P = \frac{F}{A}\,,\]dove \(F\) è la forza e \(A\) è la superficie su cui la forza è applicata.
Con l'espressione "pressione idrostatica" si indica la pressione esercitata in un punto dalla colonna di fluido sovrastante.
La pressione idrostatica è definita come la forza esercitata da un fluido in quiete sull'unità di superficie con cui è in contatto normalmente a essa.
Il valore della pressione idrostatica dipende dal valore della densità del fluido e dalla profondità del punto considerato.
Prendi una bottiglia di plastica e una bacinella. Fai 3 fori ad altezze diverse nella bottiglia e poi riempi la bottiglia con dell'acqua (ma fallo dopo aver posto una bacinella sotto di essa per raccogliere l'acqua uscente dai fori!). Come potrai notare, l'acqua uscente dal foro più in basso arriva più lontano rispetto all'acqua uscente dai fori posti più in alto. In particolare, l'acqua arriverà tanto più lontano quanto più basso è il foro. Perché questo accade? Possiamo rispondere a questa domanda dopo aver studiato il concetto di pressione idrostatica e la legge di Stevino.
Legge di Stevino: La Formula per il Calcolo della Pressione Idrostatica
La legge di Stevino, formulata dall'ingegnere, fisico e matematico Simon Stevin, permette di calcolare la pressione a ogni profondità di una colonna di fluido conoscendo la densità del liquido.
La legge di Stevino (o legge di Stevin) afferma che la pressione esercitata da un fluido a una profondità \(h\) è pari al prodotto della densità \(\rho\) del fluido per l'accelerazione di gravità \(g\) per la profondità:
\[P = \rho g h\,.\]Questa pressione, dovuta soltanto alla colonna di liquido sovrastante, è detta pressione idrostatica.
Questo significa che la pressione aumenta con la profondità (aumenta cioè all'aumentare di \(h\)) e che si hanno delle superfici isobare (ovvero, a pressione costante) orizzontali. Poiché la pressione aumenta linearmente con la profondità, può essere espressa dalla seguente relazione:
\[ P = k h\,,\]con \(k= \rho g >0\). In un grafico pressione-profondità, questa relazione sarà rappresentata da una retta che passa per l'origine e ha un coefficiente angolare pari a \( \rho g \). In realtà, l'accelerazione di gravità \(g\) non è costante, ma varia al variare dalla distanza dal centro della Terra. Tuttavia, nelle nostre applicazioni, si può considerare costante.
Nel caso in cui vi siano due o più fluidi non mescolabili con densità differenti, la pressione idrostatica è data dalla somma delle pressioni causate dai diversi fluidi. Ad esempio, la pressione a una profondità \(h\) di un recipiente pieno d'acqua a contatto con l'atmosfera è data dalla seguente somma:
\[P = \rho g h + P_0\, ,\]dove \(P_0\) è la pressione esercitata dalla colonna d'aria sovrastante che coincide con la pressione atmosferica \(P_\mathrm{atm}= 101\,325 \, \mathrm{Pa}\) a livello del mare.
In questo caso, la relazione tra pressione e profondità è rappresentata dalla seguente espressione:
\[ P = k h + Q\,,\]dove l'intercetta \(Q\) coincide con \(P_0\).
Ricorda che \(h\) è la profondità e non l'altezza calcolata a partire dal fondo! In questo caso, \(h\), è la distanza tra la posizione del corpo immerso e la superficie del liquido. Quindi, se ci troviamo immersi in acqua a una profondità di \(4\, \mathrm{m}\), si avrà \(h = 4\, \mathrm{m}\), avendo considerato un sistema di riferimento in cui la quota \(h=0\) coincide con la superficie dell'acqua.
Si distinguono, quindi, due casi:
- Su un corpo immerso in un fluido contenuto in un recipiente chiuso a una profondità \(h\) agisce una pressione pari a \(P = \rho g h\).
- Su un corpo immerso in un fluido contenuto in un recipiente aperto a una profondità \(h\) agisce una pressione pari a \(P = \rho g h + P_0\). A livello del mare si ha \(P_0= P_\mathrm{atm}\), mentre a quote superiori si ha \(P_0 < P_\mathrm{atm}\).
Esercizi sulla Pressione Idrostatica
Vediamo ora alcuni esempi pratici di applicazione della legge di Stevino:
Esempio 1: Pressione su un oblò di un sottomarino
Un oblò di un sottomarino che si trova a \(20\, \mathrm{m}\) di profondità ha un diametro di \(40\, \mathrm{cm}\). Assumendo che la densità dell'acqua sia di \(1\,000\, \mathrm{kg}/{m}^2\), calcola la forza esercitata sull'oblò dall'esterno.
Applicando la legge di Stevino, la pressione esercitata alla profondità di \(20\, \mathrm{m}\) è pari a:
\[P = \rho g h + P_\mathrm{atm}= 1\,000 \, \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3 \cdot 9{,}81 \, \mathrm{m}/\mathrm{s}^2 \cdot 20\, \mathrm{m} +101\,325 \, \mathrm{Pa} = 297\,325 \, \mathrm{Pa}\,. \]Calcoliamo ora la superficie dell'oblò, assumendo che sia circolare:
\[A = \pi r^2 = \pi (\frac{0,4 \, m}{2} )^2 = 0{,}1245 \, \mathrm{m}^2\,. \]Quindi, la forza esercitata dall'acqua sull'oblò sarà:
\[ F = P \cdot A = 297\,325\, \mathrm{Pa} \cdot 0{,}1245\, \mathrm{m}^2 \approx 3{,}7 \times 10^4 \, \mathrm{N}\,. \]Esempio 2: Pressione esercitata da una pompa idraulica
Una pompa idraulica ha il compito di sollevare l'acqua fino all'altezza di \(100\, \mathrm{m}\). Quale pressione deve esercitare?
Per sollevare l'acqua fino a un'altezza \(h\) occorre applicare una pressione almeno pari alla pressione idrostatica prodotta da una colonna d'acqua alta \(h\). Questa pressione è data dalla legge di Stevino:
\[P_\mathrm{Stev} = \rho g h\]Quindi,
\[P= P_\mathrm{Stev} = 1000 \, \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3 \cdot 9{,}81 \mathrm{m}/\mathrm{s}^2 \cdot 100 \, \mathrm{m} = 981\,000 \, \mathrm{Pa}\]La pressione minima che deve esercitare la pompa è di \( 981\,000\, \mathrm{Pa}\).
Esempio 3: Calcolare la densità di un fluido
Ho un serbatoio alto 1,2 metri, aperto e pieno di liquido, che sul fondo ha una pressione pari a 152.000 Pa (152 kPa). Qual è la densità del fluido contenuto?
Prima di tutto bisogna ricordarci che non possiamo usare la formula inversa della legge di Stevino con il valore di pressione riportato. Quella che troviamo sul fondo del serbatoio infatti comprende anche quella atmosferica. Dobbiamo perciò prima sottrarre il valore di 101.325 Pa dai 152 kPa presenti. Si ottiene perciò che la pressione esercitata solo dal liquido è di 50.675 Pascal.
A questo punto possiamo ricavare la densità dalla formula inversa ρ =ΔP/Δhg. Di conseguenza 50.675/9,81 x 1,2 = 4.304 kg/m³.
Esempio 4: Pressione su un sottomarino
Abbiamo un mezzo subacqueo che sta viaggiando a 3, 2 km di profondità sotto la superficie. A quale pressione è sottoposto?
Come già detto la densità dell’oceano è di 1030 kg/m³, ma dobbiamo convertire la profondità in metri per procedere (3,2 km = 3.200 metri). A questo punto possiamo calcolare la pressione esercitata dalla colonna d’acqua facendo 1030 x 3.200 x 9,81 = 32.333.760 Pascal (3,23 x 107 Pa). Bisogna inoltre sommare quella atmosferica, che porta il totale a 3,24 x 107.
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