Equazione del Moto Idraulica: Definizione e Applicazioni

Il progetto delle infrastrutture idrauliche che interagiscono con gli alvei fluviali deve essere condotto adottando, nel novero delle variabili di progetto, quelle che sintetizzano le sollecitazioni che la corrente fluviale esercita sulla struttura. Per risolvere compiutamente il problema è necessario descrivere il moto della corrente. Al fine di ottenere tale descrizione, il fluido viene schematizzato come un mezzo continuo, inteso quindi come un aggregato di particelle fluide. Ciascuna particella, situata quindi in un punto dello spazio, è caratterizzata dal proprio vettore velocità, che in generale è variabile nel tempo. Nelle applicazioni pratiche, tuttavia, risulta spesso più conveniente, anzichè studiare il vettore velocità per ogni particella fluida, definire un volume fisso rispetto al quale studiare, per ogni suo punto, il vettore velocità al variare del tempo. Questo approccio è detto euleriano.

È utile ricordare che il campo di moto può essere compiutamente descritto, con una soluzione alternativa di tipo grafico, tracciando 3 famiglie di linee: la traiettoria, ovvero il luogo dei punti successivamente occupati da un'assegnata particella fluida, la linea di corrente o linea di flusso, che si riferisce ad un istante di tempo assegnato e che è la curva tale per cui il vettore velocità è ad essa tangente in ciascuno dei suoi punti, e la linea di emissione, ovvero il luogo dei punti che ad un istante temporale assegnato occupano le particelle precedentemente passate per un assegnato punto del campo di moto.

Moto Vario e Moto Permanente

Il vettore velocità nel campo di moto di un fluido è generalmente variabile nello spazio e nel tempo, e si dice quindi che siamo in condizioni di moto vario. Una prima semplificazione che si può introdurre è quella di considerare condizioni stazionarie, assumendo quindi che il vettore velocità non vari nel tempo. Si dice allora che siamo in presenza di moto permanente. Una ulteriore semplificazione si ottiene assumendo che il vettore velocità non vari sia nello spazio che nel tempo.

Correnti Fluviali e Correnti Gradualmente Variate

Poiché l'obiettivo è la descrizione di correnti fluviali, una prima approssimazione è quella di riferirsi allo studio della corrente, ovvero quel particolare campo di moto nel quale le traiettorie delle diverse particelle fluide hanno sensibilmente la stessa direzione. Il termine "sensibilmente" significa che in realtà sono possibili piccoli scostamenti nella direzione delle singole traiettorie, che tuttavia devono mantenersi limitati. Immaginiamo ora di tagliare la corrente con una superficie che in ogni suo punto, e in un generico istante, risulti normale al vettore velocità nel punto stesso: detta superficie si definisce "sezione trasversale" della corrente. Si definisce portata di una corrente il volume di fluido che transita nell'unità di tempo attraverso un'assegnata sezione trasversale.

Una ulteriore semplificazione si ottiene riferendosi al caso della corrente gradualmente variata, o corrente lineare, che è caratterizzata da traiettorie delle particelle fluide sensibilmente rettilinee e parallele. È importante sottolineare che non esiste alcuna analogia fra la definizione di moto vario precedentemente introdotta e la definizione di corrente gradualmente variata. La corrente gradualmente variata è caratterizzata da sezioni trasversali piane, sulle quali la pressione è distribuita in accordo alla legge idrostatica, ovvero: z + p/γ = cost dove z è l'altezza di un punto assegnato rispetto ad un piano orizzontale di riferimento, p è la pressione idrostatica nel punto stesso e γ è il peso specifico dell'acqua.

Le correnti gradualmente variate presentano l'interessante proprietà che il vettore velocità è sensibilmente invariante nella sezione trasversale. Di conseguenza, queste correnti possono essere descritte con un modello monodimensionale, nel quale l'unica variabile spaziale indipendente è la coordinata che descrive la posizione della sezione trasversale considerata. Nella descrizione delle correnti fluviali, l'ascissa curvilinea è usualmente misurata lungo il profilo longitudinale del thalweg, ovvero il luogo dei punti di quota minima delle sezioni fluviali trasversali.

Inoltre, si può dimostrare che le correnti gradualmente variate sono compiutamente descritte da due sole variabili: una di tipo geometrico ed una di tipo cinematico, che a loro volta dipendono dalle variabili indipendenti tempo e coordinata spaziale. Le variabili geometriche sono caratterizzate da unità di misura espressa in funzione di sole lunghezze, mentre le variabili cinematiche hanno unità di misura espressa in funzione di lunghezza e tempo. Esempi di variabili geometriche sono l'altezza d'acqua e l'area della sezione trasversale.

Le considerazioni di cui sopra mettono in evidenza che la corrente gradualmente variata deve essere descritta da due equazioni al fine di poter ricavare le due variabili incognite innanzi menzionate. In quanto segue, per collocarci nel contesto delle correnti fluviali, faremo esplicito ed esclusivo riferimento alle correnti a pelo libero, ovvero quelle correnti che hanno una parte del loro contorno, appunto chiamata pelo libero, a diretto contatto con l'atmosfera. Queste correnti sono soggette a pressioni ridotte, essendo le altezze di acqua limitate, e quindi vengono solitamente descritte assumendo che il fluido, ovvero l'acqua, sia incomprimibile.

È utile osservare che nel caso delle correnti gradualmente variate la direzione ed il verso del vettore velocità sono univocamente assegnate ed è quindi necessario descriverne il solo modulo. È importante ricordare che la corrente gradualmente variata a pelo libero è caratterizzata da pelo libero orizzontale nella sezione trasversale.

Equazioni Fondamentali per le Correnti a Pelo Libero

Al fine di poter definire le due equazioni necessarie per descrivere il moto di una corrente a pelo libero è necessario fare riferimento ai principi della fisica, poiché stiamo trattando un fluido in movimento. Le leggi di Newton implicano la conservazione della quantità di moto della corrente. Nel caso delle correnti gradualmente variate, essendo direzione e verso del vettore velocità assegnate, la conservazione della quantità di moto è equivalente alla conservazione dell'energia della corrente.

Equazione di Continuità

L'equazione di bilancio di massa per una corrente è anche chiamata equazione di continuità.

dove Q è la portata della corrente, s è l'ascissa fluviale, A è l'area della sezione trasversale ed s e t sono le coordinate, rispettivamente, spaziale e temporale.

Equazione di Bilancio della Quantità di Moto

La seconda equazione che utilizziamo per la descrizione delle correnti gradualmente variate è quindi l'equazione di bilancio della qualità di moto, che discende dalla seconda legge di Newton. È utile ed opportuno ricavare questa equazione, al fine di meglio ricordarla e comprenderla. Può essere ricavata seguendo dimostrazioni alternative. Una via è quella che parte dall'enunciato del Teorema di Bernoulli applicato alle correnti, che si può scrivere nella forma: "nella corrente di moto permanente di un fluido perfetto, pesante ed incomprimibile la potenza si conserva lungo le sezioni trasversali". Nel caso delle correnti gradualmente variate, si può semplificare l'enunciato affermando che l'energia totale della corrente (o carico totale) calcolata per la particella fluida che risiede nel baricentro della sezione trasversale, si conserva durante il moto.

dove H rappresenta l'energia totale della corrente nella sezione trasversale per unità di peso del fluido, ed ha quindi le dimensioni di una lunghezza; v è la velocità della corrente nella sezione trasversale; z è la quota del baricentro della sezione trasversale rispetto ad un piano orizzontale di riferimento, p è la pressione idrostatica nel baricentro della sezione, γ è il peso specifico dell'acqua e α è il coefficiente di ragguaglio delle potenze cinetiche, che tiene conto della reale distribuzione della velocità lungo la sezione trasversale.

dove s indica l'ascissa curvilinea della corrente, g indica l'accelerazione di gravità e J è la cadente del carico totale della corrente, ovvero la perdita di energia, per unità di ascissa fluviale ed unità di peso del fluido, subita dalla corrente ad effetto dell'attrito fra il fluido reale e il contorno della corrente (ovvero l'alveo fluviale).

dove h indica l'altezza d'acqua nella sezione trasversale, ovvero il dislivello fra il pelo libero ed il thalweg, ed i indica la pendenza di fondo alveo. E' interessante notare che le due equazioni sono scritte in funzione di variabili diverse, pur mantenendo il requisito indispensabile che una sia di tipo geometrico e l'altra di tipo cinematico. Infatti, l'equazione dinamica è scritta nelle incognite h (geometrica) e v (cinematica), mentre l'equazione di continuità è scritta nelle variabili A (geometrica) e Q (cinematica).

Per risolvere le equazioni di De Saint-Venant, che sono un sistema di equazioni differenziali alle derivate parziali di tipo iperbolico è necessario specificare il termine J, nonchè le condizioni iniziali ed al contorno. J è valutato empiricamente come vedremo nelle prossime sezioni; le condizioni iniziali sono specificate fornendo il valore di una variabile geometrica e una cinematica lungo l'alveo fluviale al tempo t=0, mentre la le condizioni al contorno sono definite fornendo il valore di una variabile geometrica ed una cinematica nelle sezioni trasversali che delimitano il tronco d'alveo oggetto di analisi.

Energia Specifica e Altezza Critica

Facciamo ora riferimento ad una sezione trasversale di una corrente generica caratterizzata da portata Q, assumendo solo che la corrente stessa sia gradualmente variata e che le sezioni trasversali siano verticali, potendo il moto essere eventualmente vario oppure permanente, ed in alcuni casi anche uniforme.

che porge il carico energetico E della sezione rispetto al fondo alveo, ovvero la cosiddetta energia specifica della corrente. È immediato comprendere dall'equazione precedente che, a parità di portata Q, la corrente può transitare nella sezione con diversi livelli di energia specifica al variare dell'altezza idrica, ovvero la sola quantità dalla quale l'energia dipende.

Per altezza della corrente tendente a zero e tendente ad infinito, l'energia diverge, tendendo quindi ad assumere valore infinito. Esiste quindi un valore di altezza d'acqua k al quale corrisponde il minimo di energia.

Condizioni Critiche e Numero di Froude

Si può dimostrare che in condizioni critiche, ovvero quando la corrente transita con altezza d'acqua pari all'altezza critica, il numero di Froude della corrente assume valore unitario.

dove A è l'area della sezione trasversale e B è la larghezza del pelo libero nella sezione trasversale stessa. Peraltro, effettuando un bilancio di massa ed un bilancio di energia al passaggio di una piccola perturbazione (onda di bassa ampiezza) si ottiene che (g A/B)1/2 è proprio la velocità di propagazione della perturbazione stessa.

Ne consegue che per una corrente in stato supercritico, ovvero quando Fr > 1, la corrente è più veloce di piccole perturbazioni indotte, mentre in condizioni subcritiche, con Fr < 1, le piccole perturbazioni sono più veloci della corrente e possono quindi risalirla. Questa diversa peculiarità cinematica porta a fare una distinzione tecnica fra i due tipi di corrente. Infatti, per la corrente lenta le condizioni al contorno per l'integrazione delle equazioni di De Saint Venant vanno ricercate l'una a valle e l'altra a monte, mentre per la corrente veloce le condizioni al contorno vanno ricercate entrambe a monte.

In particolare, per una corrente veloce le perturbazioni di livello (condizione al contorno di tipo geometrico) possono solo scendere verso valle. Viceversa, per una corrente lenta possono risalire verso monte o scendere verso valle in condizioni di moto vario, mentre in condizioni di moto permanente possono solo risalire verso monte.

Stima della Cadente del Carico Totale

La stima della cadente del carico totale J viene risolta per via empirica, per l'impossibilità di decifrare con modelli fisici i complessi fenomeni di attrito che determinano le perdite energetiche.

nella quale R indica il raggio idraulico della sezione, ovvero il rapporto fra area bagnata A e contorno bagnato P della sezione trasversale, e χ indica il coefficiente di resistenza di Chezy.

nella quale ks è un coefficiente tabellato in dipendenza dalle caratteristiche dell'alveo, espresso in m1/3/s.

dalla quale è possibile ricavare J.

Moto Uniforme e Equazione di Chezy

Annullando quindi tutte le derivate spaziali e temporali nelle equazioni di De Saint-Venant si ottiene che il moto uniforme è descritto dalla sola semplice equazione i = J . Infatti, le variabili caratteristiche della corrente rimangono due, ma la variabile cinematica, ovvero la portata, è invariante nello spazio e nel tempo ed è quindi data dalla condizione iniziale nella sezione di monte del tronco fluviale. L'altezza di moto uniforme si può quindi ricavare a partire dell'equazione di Chezy, eguagliando J ad i.

Spinta di una Corrente in Movimento

La spinta S esercitata da una corrente in movimento è data dalla somma della spinta idrostatica e della spinta idrodinamica. Per una sezione trasversale di forma qualunque si può scrivere S = γ A hg + ρ Q v , dove hg è l'altezza del baricentro della sezione trasversale rispetto al fondo alveo. Per una sezione rettangolare si può scrivere s = 1/2 γ h2 + ρ q v , ove s e q sono la spinta e la portata per unità di larghezza (q si dice anche portata specifica).

Propagazione delle Perturbazioni

Ipotizziamo a un certo istante t=t0 di perturbare il livello liquido nella sezione 2. Tale perturbazione può propagarsi sia verso monte sia verso valle con una celerità fornita dalla formula 4.1. In una corrente veloce la perturbazione non può risalire verso monte e, pertanto, riesce a propagarsi solo verso valle. In una corrente lenta le perturbazioni possono propagarsi sia verso monte sia verso valle.

Altezza Critica e Energia Specifica

Nelle correnti a superficie libera si può individuare una condizione critica caratterizzata dal fatto che, in corrispondenza di questa, le grandezze del moto assumono valori e significato specifici. l’altezza (o profondità) critica, ycr, cioè l’altezza d’acqua che si verifica quando il numero di Froude è uguale a 1. Si definisce energia specifica. Si definisce altezza critica.

α è un coefficiente che dipende dalla effettiva distribuzione della velocità nel piano della sezione. È immediato osservare che la funzione E=E(y) tende a infinito sia per y → 0 sia per y → ∞. Pertanto deve avere un minimo. Lo studio della funzione ci rivela che tale minimo esiste e si trova in corrispondenza dell’altezza critica.

Si osserva che, a portata costante, l’energia specifica ha un minimo proprio in corrispondenza dell’altezza critica di ciascuna sezione.

Pendenza Critica

La pendenza critica, icr, è definita come la pendenza dell’alveo in corrispondenza della quale, per una data portata, l’altezza critica e l’altezza di moto uniforme coincidono. Se l’alveo è dotato di pendenza if > icr allora per la data portata l’altezza yu del moto uniforme sarà minore di quella critica (corrente veloce). Viceversa, se if < icr allora, sempre per la data portata, il moto uniforme si realizza con un’altezza d’acqua maggiore di quella critica (corrente lenta). In tal caso l’alveo viene definito alveo fluviale. Si noti che la pendenza critica risulta funzione della portata; risulta infatti che icr diminuisce all’aumentare della portata.

Quando il moto è gradualmente variato è lecito esprimere le perdite distribuite con le formule valide per il moto uniforme. Questa condizione rappresenta una singolarità di tipo matematico che tuttavia è associata a fenomeni fisici importanti nello studio delle correnti a superficie libera. In tale condizione la formula 4.9 tende a perdere di validità in quanto derivata sotto l’ipotesi di moto gradualmente variato.

Profili di Corrente in Alvei Fluviali e Torrentizi

Negli alvei declivi fluviali, oltre al profilo di corrente uniforme, si distinguono 3 profili: F1, F2 e F3.

Il profilo F1 è caratterizzato da una corrente con profondità maggiore di quella uniforme. Il livello imposto a valle costituisce la condizione al contorno relativa a questo profilo di corrente lenta che si raccorda al moto uniforme asintoticamente verso monte.
Nel profilo F2 la profondità della corrente è compresa tra la profondità critica e quella di moto uniforme. Il profilo risulta pertanto di corrente lenta e si sviluppa a partire da una condizione al contorno posta a valle per poi raccordarsi con la profondità di moto uniforme a monte.
Nel profilo F3 la profondità è inferiore a quella critica. Questo profilo risulta l’unico profilo di corrente veloce in un alveo fluviale. Il profilo si sviluppa a partire da una condizione al contorno posta a monte per poi tendere alla profondità critica con un asintoto verticale.

Negli alvei declivi torrentizi, oltre al profilo di corrente uniforme, si distinguono 3 profili: T1, T2 e T3.

Nel profilo T1 la profondità della corrente è ovunque maggiore di quella critica. La corrente è pertanto lenta, si sviluppa a partire da una condizione al contorno posta a valle per poi tendere alla profondità critica a monte con un asintoto verticale. La corrente risulta ritardata essendo caratterizzata da profondità (velocità media) crescenti (decrescenti) verso valle.
Nel profilo T2 la profondità della corrente è compresa tra la profondità di moto uniforme e la profondità critica. Il profilo è di corrente veloce, si sviluppa a partire da una condizione al contorno posta a monte e si raccorda verso valle con la profondità di moto uniforme.
Nel profilo T3 la profondità è ovunque inferiore alla profondità di moto uniforme. Il profilo è di corrente veloce, nasce da un tirante inferiore alla profondità di moto uniforme imposto a monte e si raccorda alla profondità di moto uniforme verso valle.

Gli alvei orizzontali o acclivi non hanno una profondità di moto uniforme; quest’ultima tende ad assumere valori infinitamente grandi quando if tende a 0.

I profili al di sopra della profondità critica (H1 e A1) sono di corrente lenta, si sviluppano a partire da un livello imposto a valle maggiore di quello relativo alla profondità critica e crescono verso monte in modo analogo a quanto visto nel profilo F2.
I profili al di sotto della profondità critica (H2 e A2) sono di corrente veloce, si sviluppano a partire da un livello imposto a monte minore a quello relativo alla profondità critica, e crescono verso valle tendendo asintoticamente alla profondità critica in modo analogo a quanto osservato per il profilo F3.

Nelle correnti veloci la causa perturbatrice fa risentire i suoi effetti solo verso valle. Nelle correnti lente la causa perturbatrice fa risentire i suoi effetti sia verso monte sia verso valle.

La procedura numerica di risoluzione procederà quindi in direzione monte - valle se la corrente è veloce (propagazione delle perturbazioni verso valle), in direzione valle - monte se la corrente è lenta (propagazione delle perturbazioni verso monte).

Salto di Fondo

Il salto di fondo costituisce un disturbo per la corrente in quanto modifica (o non consente) l’altezza di moto uniforme.

Se il livello Ym nel ricevente aumenta e supera il livello dell’altezza critica, la corrente a monte continua a raggiungere il ricevente con un profilo tipo F2 diminuendo tuttavia la distanza Ar. Una volta superato anche il livello della yu, a monte si genera un profilo di rigurgito tipo F1, che si estende a monte per una distanza (in teoria infinita) Ar.

Moto Rapido

In generale si può assumere che nel moto rapidamente accelerato le perdite energetiche siano trascurabili. Ciò non è più lecito nel caso di moto rapidamente decelerato.

Risalto Idraulico

Il risalto può presentarsi con forme diverse in relazione al valore del numero di Froude della corrente di monte. In particolare se la corrente di monte è caratterizzata da un Froude inferiore a circa 1.7, il risalto si manifesta attraverso una serie di ondulazioni della superficie libera. In caso contrario si realizza il salto diretto o salto di Bidone costituito dalla formazione di un vortice ad asse orizzontale (roller) che dissipa una quantità di energia non trascurabile.

Il risalto si localizza quando la spinta totale associata alla corrente veloce in arrivo da monte è uguale alla spinta totale della corrente lenta di valle.

Analogamente a quanto visto per la funzione carico specifico E(y) a portata fissata, la funzione S=S(y) tende a infinito sia per y → 0 sia per y → ∞. Pertanto deve avere un minimo. Lo studio della funzione ci rivela che tale minimo esiste e si trova in corrispondenza dell’altezza critica.

Deflusso in Alveo con Diversa Pendenza

Il deflusso della corrente in alveo costituito da due tronchi cilindrici di uguale sezione trasversale ma di diversa pendenza è illustrato nelle figura 4.14, figura 15.

Nel caso in cui si realizzi il passaggio da un alveo fluviale a uno torrentizio, la corrente passa gradualmente dal regime lento a quello veloce transitando attraverso la profondità critica nella sezione dove ha luogo il cambiamento di pendenza.
Nel caso di passaggio da un alveo torrentizio a un alveo fluviale si assiste all’incontro tra una corrente veloce a monte e una lenta a valle. Questo passaggio avviene a mezzo di un risalto idraulico che si localizza nella sezione dove avviene l’uguaglianza delle spinte totali.

Restringimento Provocato da Pile di un Ponte

Il restringimento provocato dalle pile di un ponte in un alveo cilindrico può considerarsi debole se la corrente è in grado di defluire attraverso le pile senza attraversare lo stato critico. Nel caso in cui venga soddisfatta questa condizione, nel tronco ristretto la corrente diminuisce la profondità mantenendosi nello stato lento. Se il restringimento è rilevante la corrente non è in grado di defluire attraverso le pile del ponte con i valori del carico specifico imposti dal moto uniforme. In questi condizioni la corrente deve risparmiare energia al fine di poter presentarsi nel tratto ristretto con il carico specifico minimo necessario per il passaggio della portata assegnata.

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