Moto Uniforme Idraulico: Definizione e Formula

Per moto uniforme si intende un moto le cui caratteristiche non variano nello spazio. Qualunque variazione spaziale delle caratteristiche geometriche e/o idrauliche perturba in modo più o meno esteso il regime di moto uniforme, dando origine a condizioni di moto permanente. Moto in cui il campo di velocità è indipendente dal tempo.

Tuttavia, i requisiti di uniformità possono essere soddisfatti facendo riferimento ai valori medi delle grandezze in gioco come per esempio in quei tratti fluviali ove le sezioni trasversali mostrano variazioni modeste di forma e di superficie, ai quali risulta accettabile attribuire una sezione fluviale media, una pendenza media. Ovviamente, è necessario che nel tratto fluviale così schematizzato siano rispettate le condizioni di uniformità anche delle grandezze idrauliche, seppur con analogo riferimento ai valori medi.

Così dovrà essere rappresentativo del tratto un valore medio di scabrezza, di portata liquida e di livello idrico. Occorre osservare che la tensione tangenziale prima ricavata rappresenta, come già detto, il valore medio lungo il perimetro bagnato. I valori locali e la loro effettiva distribuzione lungo il contorno della sezione possono discostarsi anche significativamente da tale valore medio. Purtroppo non esistono ancora oggi criteri affidabili per la stima delle tensioni locali che, in via indicativa, possono essere stimate tramite la formula 3.4, sostituendo al valore del raggio idraulico l’altezza idrica locale.

Una stima del coefficiente di Manning può anche essere dedotta dall’analisi di foto di tratti fluviali rappresentativi come riportato da Chow [6]. Questo rappresenta il procedimento tradizionale di misura delle portata dei corsi d’acqua. La scala di deflusso esplicita il legame che, in un alveo di assegnata pendenza, si istituisce tra portata e tirante idrico.

Il coefficiente K è dipendente dalla scabrezza, dalla pendenza del fondo e dal contorno bagnato. L’esponente m risulta praticamente dipendente solo dalla forma della sezione, ovvero dalle caratteristiche geometriche della sezione. La separazione viene eseguita generalmente mediante rette verticali e di ogni sottosezione viene calcolato il raggio idraulico assumendo come perimetro bagnato il solo contorno solido.

Si definisce altezza di pressione di un determinato punto P dell’acquifero la pressione dell’acqua nel punto P misurata in metri di colonna d’acqua. Facendo riferimento alla figura 3a, si può immaginare di realizzare un piezometro con tratto filtrante in corrispondenza del punto P. La pressione dell’acqua in P, espressa in metri di colonna d’acqua, equivale al dislivello fra la quota raggiunta dall’acqua all’interno del tubo piezometrico e la quota del punto P. L’altezza geometrica di un determinato punto P è la quota del punto P rispetto ad un piano orizzontale preso convenzionalmente a riferimento come quota zero.

Anche se da un punto di vista teorico sarebbe possibile scegliere qualunque piano come quota zero, per praticità come riferimento viene usualmente scelta la base dell’acquifero. Analogamente al caso di figura 2b, in un acquifero in quiete il valore del carico idraulico è uguale in tutti i punti. Immaginando infatti di ripetere il ragionamento precedente per il punto A di fig. Dimensionalmente il carico idraulico è una lunghezza.

Se in un acquifero esistono punti a differente carico idraulico, si innesca un moto di filtrazione diretto dal punto a carico idraulico maggiore verso il punto a carico idraulico minore. Poiché nel sistema non esiste alcuna differenza di carico idraulico, non si innesca alcun moto di filtrazione e l’acqua nel cilindro di sabbia permane in stato di quiete.

Se si immagina di abbassare la bacinella B, si crea una differenza di carico idraulico alle estremità del cilindro. La differenza di carico idraulico innesca un moto di filtrazione, e di conseguenza una parte dell’acqua che si trova nel cilindro di sinistra transita attraverso il terreno e fuoriesce dalla bacinella di destra. Ipotizziamo a un certo istante t=t0 di perturbare il livello liquido nella sezione 2. Tale perturbazione può propagarsi sia verso monte sia verso valle con una celerità fornita dalla formula 4.1. In questo caso la dinamica della propagazione con origine in O è illustrata nella Figura 4.2a.

In una corrente lenta le perturbazioni possono propagarsi sia verso monte sia verso valle. Nelle correnti a superficie libera si può individuare una condizione critica caratterizzata dal fatto che, in corrispondenza di questa, le grandezze del moto assumono valori e significato specifici. l’altezza (o profondità) critica, ycr, cioè l’altezza d’acqua che si verifica quando il numero di Froude è uguale a 1.

Si definisce energia specifica ... ... Si definisce altezza critica ... ... α è un coefficiente che dipende dalla effettiva distribuzione della velocità nel piano della sezione. È immediato osservare che la funzione E=E(y) tende a infinito sia per y → 0 sia per y → ∞. Pertanto deve avere un minimo. Lo studio della funzione ci rivela che tale minimo esiste e si trova in corrispondenza dell’altezza critica.

A titolo di esempio, si riporta nella figura 4.4 l’andamento della funzione E=E(y) per una stessa portata (Q = 50 m3/s) e relativamente a due sezioni rettangolari di larghezza 20 m e 10 m. Si osserva che, a portata costante, l’energia specifica ha un minimo proprio in corrispondenza dell’altezza critica di ciascuna sezione. La pendenza critica, icr, è definita come la pendenza dell’alveo in corrispondenza della quale, per una data portata, l’altezza critica e l’altezza di moto uniforme coincidono.

Se l’alveo è dotato di pendenza if > icr allora per la data portata l’altezza yu del moto uniforme sarà minore di quella critica (corrente veloce). Viceversa, se if < icr allora, sempre per la data portata, il moto uniforme si realizza con un’altezza d’acqua maggiore di quella critica (corrente lenta). In tal caso l’alveo viene definito alveo fluviale. Si noti che la pendenza critica risulta funzione della portata; risulta infatti che icr diminuisce all’aumentare della portata.

La formula 4.7 indica in sostanza che il carico totale della corrente diminuisce sempre nel verso della corrente. La formula 4.7 viceversa non è valida per condizioni di moto rapidamente variato (rapidly varied flow) in cui variazioni di profondità, di larghezza e quindi di velocità della corrente si manifestano in brevi tratti del corso d’acqua. Quando il moto è gradualmente variato è lecito esprimere le perdite distribuite con le formule valide per il moto uniforme.

Questa condizione rappresenta una singolarità di tipo matematico che tuttavia è associata a fenomeni fisici importanti nello studio delle correnti a superficie libera. La formula 4.10 non ci consente infatti di studiare tali fenomeni: via via che la profondità d’acqua tende al valore critico, le variazioni della stessa altezza d’acqua tendono a diventare grandissime in breve spazio. In tale condizione la formula 4.9 tende a perdere di validità in quanto derivata sotto l’ipotesi di moto gradualmente variato.

Nei profili di moto permanente rappresentati nella figura 4.6 derivano dall’equazione della formula 4.7 che rappresenta un’equazione differenziale ordinaria del primo ordine. Il tracciamento quantitativo del profilo della corrente dipende da come vengono specificate queste “condizioni di moto”.

Riassumendo: il tronco fluviale oggetto di simulazione in moto permanente è delimitato da una sezione iniziale a monte e da una sezione finale a valle. La condizione di portata (costante per tutto il tronco) viene posta nella sezione di monte. La procedura numerica di risoluzione della formula 4.7 procederà quindi in direzione monte - valle se la corrente è veloce (propagazione delle perturbazioni verso valle), in direzione valle - monte se la corrente è lenta (propagazione delle perturbazioni verso monte).

Il salto di fondo rappresentato nella figura 4.8 costituisce un disturbo per la corrente in quanto modifica (o non consente) l’altezza di moto uniforme. Se consideriamo una corrente che a monte del salto scorre in un alveo fluviale (cioè con pendenza del fondo inferiore alla pendenza critica, if

Una volta superato anche il livello della yu, a monte si genera un profilo di rigurgito tipo F1, che si estende a monte per una distanza (in teoria infinita) Ar (figura 4.8c). Nel primo caso la corrente che si instaura a valle dello sbocco è una corrente lenta che risente delle caratteristiche dell’alveo a valle (sezione, pendenza, scabrezza) per trovare l’altezza di moto uniforme conseguenti. In prossimità della sezione iniziale la corrente è libera di far transitare la massima portata compatibile con il livello nel serbatoio raggiungendo la altezza critica.

In generale si può assumere che nel moto rapidamente accelerato le perdite energetiche siano trascurabili. Ciò non è più lecito nel caso di moto rapidamente decelerato. In particolare se la corrente di monte è caratterizzata da un Froude inferiore a circa 1.7, il risalto si manifesta attraverso una serie di ondulazioni della superficie libera. In caso contrario si realizza il salto diretto o salto di Bidone costituito dalla formazione di un vortice ad asse orizzontale (roller) (figura 4.12) che dissipa una quantità di energia non trascurabile.

Il risalto si localizza quando la spinta totale associata alla corrente veloce in arrivo da monte è uguale alla spinta totale della corrente lenta di valle. La spinta totale S della corrente in una sezione è definita come la somma della spinta idrostatica, pari al prodotto tra la pressione idrostatica nel baricentro della sezione e la superficie della sezione stessa, e del flusso della quantità di moto, quest’ultimo pari a ρQU. Si noti che la grandezza spinta totale ha le dimensioni di una forza.

Analogamente a quanto visto per la funzione carico specifico E(y) a portata fissata, la funzione S=S(y) tende a infinito sia per y → 0 sia per y → ∞. Pertanto deve avere un minimo. Lo studio della funzione ci rivela che tale minimo esiste e si trova in corrispondenza dell’altezza critica. Il risalto si localizza dove la spinta totale della corrente di monte Sm uguaglia la spinta totale di valle Sv; in queste condizioni ym e yv rappresentano la profondità della corrente nelle sezioni immediatamente a monte e a valle del risalto (figura 4.12). Le profondità ym e yv sono dette altezze coniugate del risalto.

Nel caso in cui si realizzi il passaggio da un alveo fluviale a uno torrentizio (figura 4.14), la corrente passa gradualmente dal regime lento a quello veloce transitando attraverso la profondità critica nella sezione dove ha luogo il cambiamento di pendenza. Si noti che nell’alveo fluviale si realizza un profilo F2, mentre in quello torrentizio si realizza un profilo T2; la condizione al contorno relativa a entrambi i profili è costituita dalla profondità critica.

Nel caso di passaggio da un alveo torrentizio a un alveo fluviale (figura 15) si assiste all’incontro tra una corrente veloce a monte e una lenta a valle. Questo passaggio avviene a mezzo di un risalto idraulico che si localizza nella sezione dove avviene l’uguaglianza delle spinte totali. Nella figura 15a la spinta totale associata al moto uniforme nel tronco di valle è maggiore della spinta totale relativa al moto uniforme nel tronco di monte. Il risalto infatti avviene nel tronco di monte.

Nel caso in cui la spinta totale della corrente in moto uniforme nel tronco di monte sia maggiore di quella relativa alla corrente di valle, il risalto si localizza nel tratto di valle (figura 15b). Il restringimento provocato dalle pile di un ponte in un alveo cilindrico può considerarsi debole se la corrente è in grado di defluire attraverso le pile senza attraversare lo stato critico. Per semplicità lo studio viene affrontato nell’ipotesi che il passaggio tra le pile avvenga senza sensibile dissipazione di energia. Lo studio viene inoltre affrontato in assenza di controlli al contorno del tratto in esame.

Se il restringimento della sezione è ‘rilevante’ può accadere che il carico Eu sia insufficiente per superare l’ostacolo, in tal caso si parla di restringimento ‘forte’. Nel caso in cui venga soddisfatta questa condizione, nel tronco ristretto la corrente diminuisce la profondità mantenendosi nello stato lento (figura 4.16a,c). Se il restringimento è rilevante la corrente non è in grado di defluire attraverso le pile del ponte con i valori del carico specifico imposti dal moto uniforme.

In questi condizioni la corrente deve risparmiare energia al fine di poter presentarsi nel tratto ristretto con il carico specifico minimo necessario per il passaggio della portata assegnata. Il deflusso avviene nel tronco ristretto attraverso il passaggio delle condizioni critiche; immediatamente a monte si realizza un innalzamento dei livelli che dà origine ad un profilo di corrente lenta del tipo F1 nel caso fluviale o di tipo T1 nel caso torrentizio; a valle si realizza un profilo di corrente veloce del tipo F3 nel caso fluviale o di tipo T3 nel caso torrentizio.

A valle del restringimento il profilo di corrente veloce F3 si raccorda con il moto uniforme per mezzo di un risalto. Dal punto di vista energetico, figura 4.17b, la corrente assume il carico specifico minimo necessario per il passaggio della portata assegnata nel tronco ristretto; in assenza di dissipazioni tale carico specifico si conserva nelle sezioni immediatamente a monte e a valle del tratto a sezione ridotta.

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