Numero di Froude in Idraulica: Definizione e Applicazioni

Nelle correnti a superficie libera, si può individuare una condizione critica caratterizzata dal fatto che, in corrispondenza di questa, le grandezze del moto assumono valori e significato specifici. In particolare, si definisce altezza critica, ycr, l’altezza d’acqua che si verifica quando il numero di Froude è uguale a 1. Si definisce anche energia specifica, che è una misura dell'energia della corrente rispetto al fondo del canale.

È immediato osservare che la funzione E=E(y) tende a infinito sia per y → 0 sia per y → ∞. Pertanto deve avere un minimo. Lo studio della funzione ci rivela che tale minimo esiste e si trova in corrispondenza dell’altezza critica. A titolo di esempio, si riporta nella figura 4.4 l’andamento della funzione E=E(y) per una stessa portata (Q = 50 m3/s) e relativamente a due sezioni rettangolari di larghezza 20 m e 10 m. Si osserva che, a portata costante, l’energia specifica ha un minimo proprio in corrispondenza dell’altezza critica di ciascuna sezione.

La pendenza critica, icr, è definita come la pendenza dell’alveo in corrispondenza della quale, per una data portata, l’altezza critica e l’altezza di moto uniforme coincidono. Se l’alveo è dotato di pendenza if > icr allora per la data portata l’altezza yu del moto uniforme sarà minore di quella critica (corrente veloce). Viceversa, se if < icr allora, sempre per la data portata, il moto uniforme si realizza con un’altezza d’acqua maggiore di quella critica (corrente lenta). In tal caso l’alveo viene definito alveo fluviale. Si noti che la pendenza critica risulta funzione della portata; risulta infatti che icr diminuisce all’aumentare della portata.

I profili di moto permanente derivano dall’equazione della formula 4.7 che rappresenta un’equazione differenziale ordinaria del primo ordine. Il tracciamento quantitativo del profilo della corrente dipende da come vengono specificate queste “condizioni di moto”. Nelle correnti veloci la causa perturbatrice fa risentire i suoi effetti solo verso valle. Nelle correnti lente la causa perturbatrice fa risentire i suoi effetti sia verso monte sia verso valle.

Riassumendo: il tronco fluviale oggetto di simulazione in moto permanente è delimitato da una sezione iniziale a monte e da una sezione finale a valle. La condizione di portata (costante per tutto il tronco) viene posta nella sezione di monte. La procedura numerica di risoluzione della formula 4.7 procederà quindi in direzione monte - valle se la corrente è veloce (propagazione delle perturbazioni verso valle), in direzione valle - monte se la corrente è lenta (propagazione delle perturbazioni verso monte).

Il salto di fondo costituisce un disturbo per la corrente in quanto modifica (o non consente) l’altezza di moto uniforme. Se consideriamo una corrente che a monte del salto scorre in un alveo fluviale (cioè con pendenza del fondo inferiore alla pendenza critica, if

Il risalto può presentarsi con forme diverse in relazione al valore del numero di Froude della corrente di monte. In particolare se la corrente di monte è caratterizzata da un Froude inferiore a circa 1.7, il risalto si manifesta attraverso una serie di ondulazioni della superficie libera. In caso contrario si realizza il salto diretto o salto di Bidone costituito dalla formazione di un vortice ad asse orizzontale (roller) (figura 4.12) che dissipa una quantità di energia non trascurabile.

Analogamente a quanto visto per la funzione carico specifico E(y) a portata fissata, la funzione S=S(y) tende a infinito sia per y → 0 sia per y → ∞. Pertanto deve avere un minimo. Lo studio della funzione ci rivela che tale minimo esiste e si trova in corrispondenza dell’altezza critica. Il risalto si localizza dove la spinta totale della corrente di monte Sm uguaglia la spinta totale di valle Sv; in queste condizioni ym e yv rappresentano la profondità della corrente nelle sezioni immediatamente a monte e a valle del risalto (figura 4.12). Le profondità ym e yv sono dette altezze coniugate del risalto.

Nel caso in cui si realizzi il passaggio da un alveo fluviale a uno torrentizio (figura 4.14), la corrente passa gradualmente dal regime lento a quello veloce transitando attraverso la profondità critica nella sezione dove ha luogo il cambiamento di pendenza. Si noti che nell’alveo fluviale si realizza un profilo F2, mentre in quello torrentizio si realizza un profilo T2; la condizione al contorno relativa a entrambi i profili è costituita dalla profondità critica. Nel caso di passaggio da un alveo torrentizio a un alveo fluviale (figura 15) si assiste all’incontro tra una corrente veloce a monte e una lenta a valle. Questo passaggio avviene a mezzo di un risalto idraulico che si localizza nella sezione dove avviene l’uguaglianza delle spinte totali.

Il restringimento provocato dalle pile di un ponte in un alveo cilindrico può considerarsi debole se la corrente è in grado di defluire attraverso le pile senza attraversare lo stato critico. Per semplicità lo studio viene affrontato nell’ipotesi che il passaggio tra le pile avvenga senza sensibile dissipazione di energia. Se il restringimento della sezione è ‘rilevante’ può accadere che il carico Eu sia insufficiente per superare l’ostacolo, in tal caso si parla di restringimento ‘forte’.

È utile ricordare che il campo di moto può essere compiutamente descritto, con una soluzione alternativa di tipo grafico, tracciando 3 famiglie di linee: la traiettoria, ovvero il luogo dei punti successivamente occupati da un'assegnata particella fluida, la linea di corrente o linea di flusso, che si riferisce ad un istante di tempo assegnato e che è la curva tale per cui il vettore velocità è ad essa tangente in ciascuno dei suoi punti, e la linea di emissione, ovvero il luogo dei punti che ad un istante temporale assegnato occupano le particelle precedentemente passate per un assegnato punto del campo di moto.

Abbiamo innanzi sottolineato che il vettore velocità nel campo di moto di un fluido è generalmente variabile nello spazio e nel tempo, e si dice quindi che siamo in condizioni di moto vario. Una prima semplificazione che si può introdurre è quella di considerare condizioni stazionarie, assumendo quindi che il vettore velocità non vari nel tempo. Si dice allora che siamo in presenza di moto permanente. Una ulteriore semplificazione si ottiene assumendo che il vettore velocità non vari sia nello spazio che nel tempo.

Poichè l'obiettivo di questo corso è la descrizione di correnti fluviali, una prima approssimazione che introduciamo è quella di riferirci allo studio della corrente, ovvero quel particolare campo di moto nel quale le traiettorie delle diverse particelle fluide hanno sensibilmente la stessa direzione. Il termine "sensibilmente" significa che in realtà sono possibili piccoli scostamenti nella direzione delle singole traiettorie, che tuttavia devono mantenersi limitati. Immaginiamo ora di tagliare la corrente con una superficie che in ogni suo punto, e in un generico istante, risulti normale al vettore velocità nel punto stesso: detta superficie si definisce "sezione trasversale" della corrente. Si definisce portata di una corrente il volume di fluido che transita nell'unità di tempo attraverso un'assegnata sezione trasversale.

Le correnti gradualmente variate presentano l'interessante proprietà che il vettore velocità è sensibilmente invariante nella sezione trasversale. Di conseguenza, queste correnti possono essere descritte con un modello monodimensionale, nel quale l'unica variabile spaziale indipendente è la coordinata che descrive la posizione della sezione trasversale considerata. Le considerazioni di cui sopra mettono in evidenza che la corrente gradualmente variata deve essere descritta da due equazioni al fine di poter ricavare le due variabili incognite innanzi menzionate.

Al fine di poter definire le due equazioni necessarie per descrivere il moto di una corrente a pelo libero è necessario fare riferimento ai principi della fisica, poichè stiamo trattando un fluido in movimento. Le leggi di Newton implicano la conservazione della quantità di moto della corrente. Nel caso delle correnti gradualmente variate, essendo direzione e verso del vettore velocità assegnate, la conservazione della quantità di moto è equivalente alla conservazione dell'energia della corrente.

L'equazione di bilancio di massa per una corrente è anche chiamata equazione di continuità. dove Q è la portata della corrente, s è l'ascissa fluviale, A è l'area della sezione trasversale ed s e t sono le coordinate, rispettivamente, spaziale e temporale.

La seconda equazione che utilizziamo per la descrizione delle correnti gradualmente variate è quindi l'equazione di bilancio della qualità di moto, che discende dalla seconda legge di Newton. Partiremo quindi dall'enunciato del Teorema di Bernouilli applicato alle correnti, che si può scrivere nella forma: "nella corrente di moto permanente di un fluido perfetto, pesante ed incomprimibile la potenza si conserva lungo le sezioni trasversali". Nel caso delle correnti gradualmente variate, si può semplificare l'enunciato affermando che l'energia totale della corrente (o carico totale) calcolata per la particella fluida che risiede nel baricentro della sezione trasversale, si conserva durante il moto.

Facciamo ora riferimento ad una sezione trasversale di una corrente generica caratterizzata da portata Q, assumendo solo che la corrente stessa sia gradualmente variata e che le sezioni trasversali siano verticali, potendo il moto essere eventualmente vario oppure permanente, ed in alcuni casi anche uniforme. che porge il carico energetico E della sezione rispetto al fondo alveo, ovvero la cosiddetta energia specifica della corrente.

Si può dimostrare che in condizioni critiche, ovvero quando la corrente transita con altezza d'acqua pari all'altezza critica, il numero di Froude della corrente assume valore unitario. Peraltro, effettuando un bilancio di massa ed un bilancio di energia al passaggio di una piccola perturbazione (onda di bassa ampiezza) si ottiene che (g A/B)1/2 è proprio la velocità di propagazione della perturbazione stessa. Ne consegue che per una corrente in stato supercritico, ovvero quando Fr > 1, la corrente è più veloce di piccole perturbazioni indotte, mentre in condizioni subcritiche, con Fr < 1, le piccole perturbazioni sono più veloci della corrente e possono quindi risalirla.

La diversità fra i due tipi di corrente ha enorme importanza dal punto di vista tecnico. Infatti, per la corrente lenta le condizioni al contorno per l'integrazione delle equazioni di De Saint Venant vanno ricercate l'una a valle e l'altra a monte, mentre per la corrente veloce le condizioni al contorno vanno ricercate entrambe a monte. In particolare, per una corrente veloce le perturbazioni di livello (condizione al contorno di tipo geometrico) possono solo scendere verso valle. Viceversa, per una corrente lenta possono risalire verso monte o scendere verso valle in condizioni di moto vario, mentre in condizioni di moto permanente possono solo risalire verso monte.

Abbiamo in precedenza anticipato che la stima della cadente del carico totale J viene risolta per via empirica, per l'impossibilità di decifrare con modelli fisici i complessi fenomeni di attrito che determinano le perdite energetiche.

Annullando quindi tutte le derivate spaziali e temporali nelle equazioni di De Saint-Venant si ottiene che il moto uniforme è descritto dalla sola semplice equazione i = J . Infatti, le variabili caratteristiche della corrente rimangono due, ma la variabile cinematica, ovvero la portata, è invariante nello spazio e nel tempo ed è quindi data dalla condizione iniziale nella sezione di monte del tronco fluviale. L'altezza di moto uniforme si può quindi ricavare a partire dell'equazione di Chezy, eguagliando J ad i.

La spinta S esercitata da una corrente in movimento è data dalla somma della spinta idrostatica e della spinta idrodinamica. Per una sezione trasversale di forma qualunque si può scrivere S = γ A hg + ρ Q v , dove hg è l'altezza del baricentro della sezione trasversale rispetto al fondo alveo. Per una sezione rettangolare si può scrivere s = 1/2 γ h2 + ρ q v , ove s e q sono la spinta e la portata per unità di larghezza (q si dice anche portata specifica).

I modelli idraulici in scala ridotta hanno una lunga storia di applicazione in ingegneria idraulica. Il loro utilizzo si rivela utile quando risulta non consigliabile formulare o risolvere numericamente un sistema di equazioni atto a descrivere i processi che hanno luogo nel sistema reale. Affinchè il modello fisico sia rappresentativo del prototipo, è necessario verificare il soddisfacimento di appropriati criteri di similitudine, che sono il corrispondente delle assunzioni che condizionano un modello numerico. E' infatti intuitivo che un modello a scala ridotta possa rivelarsi poco attendibile, soprattutto se la scala spaziale viene oltremodo compressa.

La misura di una grandezza fisica è definita come il rapporto fra la grandezza stessa ed un’altra della stessa specie, assunta quale unità di misura. Al variare di tale unità di misura cambiano, naturalmente, tutte le misure delle grandezze della specie fisica considerata; il rapporto fra le misure di due grandezze della stessa specie resta invece inalterato, ed esso assume quindi valore oggettivo.

Se αA, βA e γA risultano identicamente nulli, l’unità di misura della grandezza A resta invariata nonostante i mutamenti apportati alle unità di misura fondamentali, e si dice che A costituisce una grandezza adimensionale, ossia un numero puro. Se, invece, solamente αA e γA risultano nulli, A è una grandezza di tipo geometrico, mentre l'uguaglianza a zero di solo αA identifica le grandezze cinematiche. Le grandezze di tipo dinamico sono invece caratterizzate da valori diversi da zero di tutti e tre gli esponenti.

I fenomeni di meccanica dei fluidi possono essere compiutamente descritti, in assenza di effetti di tipo termodinamico, elettromagnetico e chimico, identificando 9 grandezze, ovvero lunghezza, tempo, velocità, accelerazione di gravità, pressione, densità di massa del fluido, viscosità dinamica, comprimibilità, tensione superficiale. Poichè 3 di queste grandezze sono fondamentali, le rimanenti 6 potranno essere espresse in termini di rapporti adimensionali fra le grandezze fondamentali, ovvero 6 numeri puri, che sono i numeri di Reynolds, Froude, Weber, Mach, Eulero, Strouhal. Tutti questi numeri puri, ad eccezione di quello di Strouhal, possono essere interpretati, dal punto di vista dinamico, come rapporto fra la forza d'inerzia, espressa dal termine ρL2v2, ove L è una grandezza caratteristica della corrente che ha le dimensioni di una lunghezza, e le forze di diversa natura di volta in volta agenti su un assegnato volume di fluido.

La validità per il prototipo delle osservazioni compiute sul modello è assicurata dal rispetto delle leggi di similitudine, le quali possono essere rispettate anche quando i fluidi utilizzati sul modello e sul prototipo siano diversi. Modificando le convenzioni in base alle quali sono state fissate le unità di misura delle grandezze fondamentali, che supponiamo essere lunghezza L, massa M e tempo T, si possono adottare altre unità aventi ordinatamente misura λL , λM e λT nei confronti delle rispettive unità originarie. La scelta di λL , λM e λT non potrà però essere arbitraria, in quanto i numeri puri dovranno rimanere immutati, assicurando così la validità per il modello di tutte le leggi fisiche riferite al prototipo.

I modelli idraulici di correnti a pelo libero in alveo a fondo fisso sono generalmente realizzati quando si ha ragione di ritenere che la riproduzione dei processi di trasporto solido non sia strettamente necessaria. In precedenza è stato evidenziato che è impossibile conservare sia il Numero di Reynolds che il numero di Froude della corrente. E' quindi indispensabile addivenire ad un compromesso, considerando quali siano i processi più importanti da riprodurre. Ad esempio, se il moto del fluido si configura come assolutamente turbolento sia nel prototipo che nel modello, allora è possibile rinunciare alla similitudine del numero di Reynolds, che quindi risulterà diverso nel modello rispetto al prototipo. Rinunciando alla similitudine di Reynolds, siamo ora liberi di adottare un rapporto di scala delle lunghezze inferiore ad 1. La scala di riduzione delle velocità risulta quindi uguale alla radice quadrata della scala di riduzione delle lunghezze geometriche. Codesta proprietà identifica i modelli realizzati in similitudine di Froude.

Il modello idraulico del regime di piena del Fiume Arno entro la città di Firenze, nel tratto compreso tra il Ponte alle Grazie e la traversa S. Rosa, è stato realizzato nel 1972 presso il laboratorio di Ingegneria Idraulica dell’Università degli Studi di Bologna. Il modello riproduceva il tratto del Fiume Arno, contenuto fra muri di sponda, compreso fra le sezioni trasversali localizzate circa 100 metri a monte del Ponte alle Grazie e in corrispondenza della traversa di Santa Rosa. Il modello è stato realizzato secondo la similitudine di Froude, con scala di riduzione delle lunghezze geometriche pari a 1/60. Le prime prove eseguite sul modello hanno evidenziato come il livello del pelo libero risultante fosse sostanzialmente congruo con i dati osservati disponibili.

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