Pressione sul Pistone più Piccolo di un Torchio Idraulico: Una Spiegazione Dettagliata
La forza è un concetto fondamentale in fisica: essa non è altro che una grandezza capace di cambiare lo stato di un corpo. Nella vita quotidiana è possibile assistere a un gran numero di eventi causati da forze: il più evidente è sicuramente il movimento muscolare, promosso dalla forza dei muscoli. Quando si desidera quantificare l'effetto di una forza in una determinata applicazione, è spesso opportuno tenere in considerazione anche la superficie su cui agisce.
Il motivo alla base di questa scelta è molto semplice: supponiamo di avere due lastre rettangolari. La prima è lunga 20 cm, la seconda è lunga il doppio. Supponiamo di schiacciare attraverso la punta del dito con la stessa forza entrambe le lastre: la forza avvertita da ogni singola particella della lastra più piccola sarà sicuramente più alta rispetto a quella avvertita dalle particelle della lastra più grande. La grandezza fisica che consente di valutare il rapporto tra l'intensità della forza e la superficie considerata (superficie di contatto) è la pressione.
La formula da cui si ricava la stessa grandezza è data dal rapporto tra la componente perpendicolare della forza presa in esame (espressa in Newton [math]N[/math]) e la superficie su cui essa è applicata (espressa in metri quadrati [math]m^2[/math]). Anche i chiodi ne forniscono un esempio lampante: per piantarne uno serve una forza relativamente bassa, in quanto viene applicata su una piccola superficie facendo scaturire un'elevata pressione.
La formula della pressione è:
[math]\frac{F}{S}=P[/math], che in termini di unità di misura si esprime come [math]\frac{N}{m^2}=Pa[/math].
Il Principio di Pascal
Avrai sicuramente notato che quando si preme un tubo di dentifricio dal fondo, il contenuto esce dall'apertura. Ti sei mai chiesto cosa accade quando esercitiamo una pressione in un punto qualunque di un fluido? Come viene trasmessa questa pressione agli altri punti del fluido e sulle pareti che lo contiene? Questi comportamenti sono spiegati dal principio (o legge) di Pascal.
Il principio di Pascal fu enunciato dal fisico e matematico Blaise Pascal nel 1653. Il principio di Pascal descrive la seguente proprietà dei fluidi: una variazione di pressione in un punto del fluido si trasmette a ogni altro punto e sulle pareti del suo contenitore.
Una variazione di pressione in qualsiasi punto di un fluido confinato si trasmette, invariata, a ogni punto del fluido. Riempiamo un contenitore d'acqua e posizioniamo un pistone mobile sulla superficie. Premendo il pistone sulla superficie, la pressione aumenterà in ogni punto del fluido. Questo aumento potrebbe addirittura provocare la rottura delle pareti del contenitore! In altre parole, l'aumento di pressione non rimane confinato alla superficie a diretto contatto con il pistone.
La legge di Pascal è una delle pietre miliari della meccanica dei fluidi. La legge di Pascal dice che quando si applica una determinata pressione a un corpo immerso in un fluido, essa si trasmette con lo stesso valore su tutta la sue superficie. Ciò significa che la pressione viene trasmessa dai punti più "esterni" del fluido (ossia quelli più vicini al pelo libero) a quelli più "interni".
Tale formula è stata ricavata sperimentalmente, attraverso l'inserimento di un tubo sottile e lungo in un recipiente pieno d'acqua. Pascal iniziò a versare dell'acqua all'interno del tubo sottile fino a che, raggiunta una certa quantità di acqua, il recipiente esplose per effetto della pressione. In questa formula [math]p_0[/math] è la pressione iniziale in un punto all'interno della botte mentre [math]\rho \cdot g \cdot \Delta H[/math] è il contributo crescente imposto dal livello dell'acqua.
Principio di Pascal e Torchio Idraulico
Il principio di Pascal esprime una proprietà dei liquidi che viene utilizzata in diverse applicazioni, una di queste è il torchio idraulico. Il torchio idraulico (detto anche "leva idraulica") è un'applicazione del principio di Pascal che consente di sollevare grandi pesi con forze relativamente piccole ed è usato nelle officine per sollevare le automobili. Il torchio idraulico è costituito da due cilindri collegati tra loro, C1 e C2, contenenti liquido e da due pistoni mobili.
La pressione esercitata dal pistone più piccolo attraverso la forza F1 si trasmette al pistone grande per il principio di Pascal. Chiamando \(S_1\) e \(S_2\), rispettivamente, le superfici dei cilindri C1 e C2, e uguagliando le due pressioni applicate sui due pistoni, \(P_1 = \frac{F_1}{S_1} \) e \(P_2= \frac{F_2}{S_2}\), si ottiene la condizione di equilibrio:
\[ \frac{F_1}{S_1} = \frac{F_2}{S_2} \, ,\]
da cui ricaviamo
\[ F_2= F_1 \, \frac{S_2}{S_1} \, .\]
La forza \(F_2\) trasmessa a C2 è quindi pari alla forza \(F_1\) applicata a C1 moltiplicata per il rapporto delle due aree. Pertanto, se \( S_1 < S_2\), si ha \( F_2 >F_1\). Per esempio, se \(S_2 = 10 \, S_1\), si ha \(F_2 = 10 \, F_1\) , ovvero, la forza trasmessa è 10 volte superiore alla forza applicata \(F_1\)!
Affinché il torchio idraulico funzioni, il liquido contenuto nel primo cilindro deve passare al secondo cilindro senza comprimersi. Il liquido contenuto nei cilindri deve quindi essere incomprimibile.
Il segreto risiede semplicemente nel trovare lo stesso rapporto forza/superficie (e quindi lo stesso valore di pressione) da entrambe le parti: a una superficie più piccola corrisponderà una forza minore, mentre a quella più grande una con intensità maggiore. Sfrutta un sistema di pistoni collegati tra di loro, con aree diverse.
Esempi Pratici e Calcoli
Vediamo ora alcuni esercizi per capire meglio il funzionamento del torchio idraulico!
Esempio 1
Un torchio idraulico è costituito da due cilindri uno con area di appoggio di \(0{,}05 \, \mathrm{m}^2\) e l'altro con area maggiore. Se una forza applicata sul primo cilindro è di \(200 \, \mathrm{N}\) produce una forza di \(16 \,000 \, \mathrm{N}\) sul secondo, determina la superficie di appoggio del secondo cilindro.
Dalla relazione
\[ \frac{F_1}{S_1} = \frac{F_2}{S_2} \, ,\]
ricaviamo:
\[ S_2 = S_1 \, \frac{F_2}{F_1} \, .\]
Inserendo i dati otteniamo:
\[ S_2 =( 0{,}05 \, \mathrm{m}^2) \frac{16000 \, \mathrm{N}}{200 \, \mathrm{N}} = 4 \, \mathrm{m}^2\]
Esempio 2
Supponiamo di avere un torchio idraulico costituito da un cilindro con superficie di appoggio di \(0{,}01 \, \mathrm{m}^2\) e da un secondo cilindro, più grande, con superficie di appoggio di \(2 \, \mathrm{m}^2\). Se dobbiamo sollevare un'auto di \(1500 \, \mathrm{kg}\), quale forza è necessario applicare al primo pistone?
Calcoliamo innanzitutto la forza \(F_2\). Poiché deve sollevare l'auto, deve essere almeno pari alla forza peso: \(F_2 = mg= 1500 \, \mathrm{kg} \, (9{,}81 \, \mathrm{m} \, \mathrm{s^{-2}}) = 14\,715 \, \mathrm{N} \)
Scriviamo nuovamente la relazione
\[ \frac{F_1}{S_1} = \frac{F_2}{S_2} \,.\]
da cui possiamo calcolare la nostra incognita \(F_1\):
\[ F_1= F_2\, \frac{S_1}{S_2} \, .\]
Inserendo i dati otteniamo:
\[ F_1 = 14\,715 \, \mathrm{N} \, \frac{0,01 \, \mathrm{m}^2}{2 \, \mathrm{m}^2} = 73{,}575 \, \mathrm{N} \]
È necessario quindi applicare una forza di almeno \(73{,}575 \, \mathrm{N}\).
Punti Chiave
- Una variazione di pressione in qualsiasi punto di un fluido confinato si trasmette, invariata, a ogni punto del fluido.
- Il principio di Pascal fu enunciato dal fisico e matematico Blaise Pascal nel 1653.
- Il torchio idraulico è un'applicazione del principio di Pascal che consente di sollevare grandi pesi con forze relativamente piccole ed è usato nelle officine per sollevare le automobili.
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