Teorema di Bernoulli: Spiegazione e Applicazioni nell'Idraulica
Nella fluidodinamica e nella fisica in generale, ci si riferisce spesso ad alcuni principi fondamentali su cui si basano le leggi di comportamento utilizzate. A partire da uno di questi principi è possibile ricavare il teorema di Bernoulli, che risulta alla base di qualsiasi ragionamento nell’ambito della fluidodinamica. Un fluido che evolve da uno stato ad un altro conserverà infatti la sua massa, la sua energia e la sua quantità di moto.
Enunciato del Teorema di Bernoulli
Il teorema di Bernoulli deriva dalla legge di conservazione della quantità di moto. Il principio afferma che la quantità totale di pressione di un fluido, data dalla sua pressione, dalla sua velocità e dalla quantità potenziale (dovuta alla sua posizione in quota) si conserva. Tutti questi elementi sono messi in relazione tra loro in un tubo con sezioni e altezze diverse. In questo modo viene individuata una costante nel moto dei fluidi ideali.
La formula del teorema di Bernoulli è:
£$p + \frac{1}{2}\cdot\varrho\cdot V^{2}+\varrho\cdot g\cdot h$£
Dove:
- £$p$£ è la pressione del fluido, espressa in Pascal, £$[Pa]$£
- £$\varrho$£ è la densità del fluido, espressa in £$[\frac{kg}{m^{3}}]$£
- £$V$£ è la velocità del fluido, espressa in £$[\frac{m}{s}]$£
- £$g$£ è l’accelerazione di gravità uguale a £$9.81 [\frac{m}{s^{2}}]$£
- £$h$£ è la quota a cui si trova il fluido, espressa in metri, £$[m]$£
Il teorema di Bernoulli afferma dunque che la somma dei termini di pressione, velocità e quota di un fluido (tutti opportunamente riportati alla stessa unità di misura) si conserva nel passaggio da uno stato ad un altro.
Relazione con l'Equazione di Continuità
L'equazione di continuità è espressa come:
£$Q = V\cdot A$£
I due principi possono essere utilizzati insieme nella definizione di un dato problema fluidodinamico. Ricavando la velocità a partire dalle condizioni geometriche e di portata del flusso, è poi possibile utilizzare la stessa per poter ricavare le altre forme di energie del fluido.
Applicazioni Pratiche del Teorema di Bernoulli
Siccome il teorema di Bernoulli afferma che i tre termini visti fino ad ora possono aumentare e/o diminuire il loro valore mantenendo però sempre costante la loro somma, possiamo immaginare un caso pratico in cui uno dei tre termini diminuisca, lasciando spazio ad uno degli altri di aumentare. Consideriamo per semplicità un caso in cui la pressione del fluido non varia, sono solo quota e velocità a modificarsi.
Apriamo semplicemente il rubinetto di acqua e osserviamo come essa scorre. Tra lo stato iniziale rappresentante l’acqua appena al di fuori del filtro e quello finale dell’acqua appena prima di cadere nel lavandino, non si ha variazione di pressione. Essa risulta infatti pari al valore atmosferico in entrambi i punti. Ciò che cambia tra lo stato 1 e lo stato 2 è che, appena fuori dal filtro, l’acqua ha una quota potenziale maggiore di quella posseduta nello stato 2. Come conseguenza, la velocità del fluido risulterà maggiore nello stato finale, per sopperire alla minore quota.
Esempi di Applicazione nella Vita Quotidiana
Anche qui l’equazione di Bernoulli ci dà una risposta. Pensiamo ad esempio ad un uragano. La spiegazione sta nel fatto che fuori casa il vento soffia ad altissima velocità, mentre l’aria interna alla casa è statica e la sua velocità è praticamente nulla. Quindi cosa succede? Il tetto subisce quindi una differenza di pressione tale che lo spinge dall’interno verso l’alto.
All’interno della doccia l’aria calda ed il vapore sono leggeri e vanno verso l’alto, l’aria all’esterno della doccia è ferma. Visto come concetti molto articolati trovano sempre una dimostrazione nella vita quotidiana?
Viscosità e Fluidi Reali
La viscosità, ossia l’attrito, è quella proprietà che fa la differenza tra i due tipi di fluido. Nei fluidi reali si osserva sperimentalmente che spostandosi nella direzione del movimento dell’acqua la somma y’+y tende progressivamente a diminuire. Questo fenomeno, rappresentato in figura 2a, è dovuto alla viscosità propria di tutti i fluidi reali.
Facendo il ragionamento inverso, se nei punti A e B la somma fra altezza geometrica e altezza di pressione è constante (fig. 2b) significa che non c’è dissipazione di pressione e quindi il fluido è in quiete. Se al contrario (fig. 2a) la somma y’+y non è costante, allora significa che esiste una dissipazione di pressione passando da A a B.
Negli acquiferi le velocità di spostamento dell’acqua sono di norma estremamente basse. In considerazione delle ridotte velocità di filtrazione, il ragionamento sviluppato in precedenza per la condotta a sezione costante può essere applicato anche al caso degli acquiferi.
Altezza di Pressione e Altezza Geometrica
Si definisce altezza di pressione di un determinato punto P dell’acquifero la pressione dell’acqua nel punto P misurata in metri di colonna d’acqua. Facendo riferimento alla figura 3a, si può immaginare di realizzare un piezometro con tratto filtrante in corrispondenza del punto P. La pressione dell’acqua in P, espressa in metri di colonna d’acqua, equivale al dislivello fra la quota raggiunta dall’acqua all’interno del tubo piezometrico e la quota del punto P.
L’altezza geometrica di un determinato punto P è la quota del punto P rispetto ad un piano orizzontale preso convenzionalmente a riferimento come quota zero. Anche se da un punto di vista teorico sarebbe possibile scegliere qualunque piano come quota zero, per praticità come riferimento viene usualmente scelta la base dell’acquifero.
Analogamente al caso di figura 2b, in un acquifero in quiete il valore del carico idraulico è uguale in tutti i punti. Se in un acquifero esistono punti a differente carico idraulico, si innesca un moto di filtrazione diretto dal punto a carico idraulico maggiore verso il punto a carico idraulico minore.
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